‘How Green was My Valley’ या सिनेमातील एका दृश्यात बाप मुलाला गळक्या हौदाचे गणित समजावून सांगत असतो. स्वयंपाकघरात काम करून आई करवादलेली असते. ती बाप-मुलाचे डोकेफोड गणित ऐकून आतून तरातरा बाहेर येते आणि विचारते, ‘पण बांधायचेच कशाला असले गळके हौद?’ गणितातला हा एक मूलभूत असाच प्रश्न आहे, ज्याचे उत्तर माहित नसते आणि तेच त्याचे सौंदर्य स्थळ आहे.
गणित हा शास्त्रीय संगीताइतकाच सौंदर्यपूर्ण आणि अभिजात विषय आहे. ज्याला प्युअर मॅथेमॅटिक्स म्हणजेच विशुद्ध गणित म्हणतात ते म्हणजे मानवी प्रतिभेच्या शिखरांपैकी एक आहे. मात्र शालेय जीवनापासून चुकीच्या पद्धतीने शिकवल्यामुळे म्हणा किंवा शिकल्यामुळे म्हणा; अनेक बुद्धीमान माणसे या बौद्धिक पोषणाला मुकतात.
या अवघड वाटणाऱ्या विषयाबद्दल ‘सौंदर्यशास्त्र गणिताचे’ या लेखात सोप्या भाषेत सांगत आहेत, गोव्याचे गणित शिक्षक मुकेश थळी. त्यांनी काही कोडी घालून त्यांची उत्तरेही सांगितली आहेत पण एक कोडे वाचकांसाठी अनुत्तरित ठेवले आहे. कोणी सोडवलेच तर कॉमेंट बॉक्समध्ये अवश्य लिहा.
‘मोगरा फुलला’ या सदरातील इतर लेख वाचण्यासाठी येथे क्लिक करा.
-सुनंदा भोसेकर
सौंदर्यशास्त्र गणिताचे
बहुतेक लोकांना गणित या विषयाची धास्ती लहानपणापासून असते. हा विषय क्लिष्ट आणि कठीण आहे अशी एक जरब विद्यार्थ्यांच्या मनात ठासून भरलेली असते. साधे आकडे, ‘बे एकम बे’च्या पाढ्यांपासून सुरू होणारे गणित अंकगणितावर येते. लसावि-मसावि, सरळ व्याज-चक्रवाढ व्याजाने गणित मुलांना वेढू लागते. काळ-काम-वेग यांची समीकरणे असतात. गळक्या हौदाचे भूत नाचू लागते. अंकगणितानंतर बीजगणित, भूमिती सुरू होते. भूमितीत प्रमेय, सिध्दांत येतात आणि मग ही भीती वाढतच जाते. मोठेपणीही गणिताच्या परीक्षांची स्वप्ने पडून दचकून जाग येते.
सुदैवाने, गणित हा माझा अतिशय आवडीचा विषय. मी शाळेत असताना माझ्या शिक्षकांना गणितातले मला पडलेले अवघड प्रश्न मी विचारत असे. मी त्यांच्याकडून अनुत्तरीत राहिलेले प्रश्न एका लखोट्यात घालून माझे एक मामा बनारस हिंदू विद्यापीठामध्ये बी टेक करत होते, त्यांना पाठवत असे. ते बाड त्यांच्याकडे पंधरा दिवसांनी पोचत असे. ती कोडी, गणिते सविस्तर सोडवून, ते ती थप्पी परत पाठवत. ती माझ्यापाशी पोचायला पुन्हा पंधरा दिवस लागत. ही फक्त नितांत आवड होती. एक झपाटा होता. कालांतराने मी गणित विषयातून संपूर्ण स्पेशलायझेशन करून बी एससी केले. गणिताचे अध्यापन केले.
या गणिताविषयी मला कायमच एक कुतूहल. हे बघा, एक मुंगी दर दिवशी अ झाडापासून ब झाडापर्यंत प्रवास करते. ती एक तारखेला अर्धं अंतर कापते. दुसऱ्या दिवशी राहिलेल्या अंतराचे अर्धे अंतर कापते. तिसऱ्या दिवशी राहिलेल्या अंतराचे अर्धे अंतर… असे करत ती ब झाडापर्यंत किती तारखेला पोचेल? याचे उत्तर आहे, ‘कधीच पोचणार नाही.’ दर दिवशी काही तरी अंतर बाकी राहील. जे टीचभर का असेना, पण बाकी उरेल. मुंगी ब झाडाच्या अगदी जवळ जात राहील. या संकल्पनेला कॅल्कुलस म्हणजे कलनशास्त्र या गणिताच्या शाखेत ‘मर्यादा’ (लिमिट) म्हणतात.
मी कठीणात कठीण असे कूटप्रश्न सोडवण्यात जो आनंद घेतला तो केवळ अवर्णनीय. तीन वर्षं गणित शिकवले. या गणिताने माझ्यातील साहित्यकाराला एक वेगळाच आकार दिला. लेखनात टोकदारपणा, नेमकेपणा आणला. कोकणीत त्याला ‘मुदयेर थीक’ म्हणतात. म्हणजेच अंगठीत फिट्ट बसलेला मौल्यवान खडा. नाटक रचताना अमूक मिनिटांचे प्रवेश कसे आखावे त्याची सूत्रबध्दता गणिताने शिकवली. गणितामुळे लेख लिहिताना भूमितीतील प्रमेय जसे सिध्द करतो त्याप्रमाणे मुद्दे क्रमवार मांडण्याची कला उमगली. पुनरूक्ती टाळून अचूकपणा व गोळीबंद अभिव्यक्ती करण्याचे तंत्र गणिताने शिकवले. माझ्या साहित्यातील मुशाफिरीला संगीताने आणि गणिताने एक उभारी दिली.
काही मूलभूत गोष्टी आहेत, ज्याच्याकडे कधीही दुर्लक्ष करून चालणार नाही. शालेय शिक्षण घेतलेल्या विद्यार्थ्याला प्राथमिक अंकगणित यायलाच हवे. बाजारात गेला तर दीड रूपयाची एक वस्तू विकत घेताना 16 वस्तूंचे किती रूपये हे तात्काळ कळत नसेल व कॅलकुलेटर वापरावा लागत असेल तर गणित शिकून फायदा काय? टक्केवारी काढायला सांगितली आणि सरासरी काढली तर फायदा काय? सरासरी व टक्केवारी यातील फरक काय हे न समजणारे खूप लोक आहेत. भूमितीतील प्रमेय वगैरे एक वेळ बाजूला ठेवू. पण दैनंदिन जीवनात उपयोगी गणिताचे ज्ञान पाहिजेच.
हे साधे कोडे बघा. एका बैठकीत 10 सदस्य जमा झाले. प्रत्येकाने प्रत्येकाला शेकहॅन्ड दिला. एकूण शेकहॅन्डस् किती? याचे उत्तर, 10 जणांनी प्रत्येकाला म्हणजे 9 जणांना शेकहँड केले. म्हणजे एकूण शेकहॅन्डस् 10 x 9 = 90. पण अजय जेव्हा सुधीरशी शेकहॅन्ड करेल तेव्हा सुधीर परत अजयशी हस्तांदोलन करणार नाही. म्हणून 90 भागीले 2 उत्तर 45.
हेच गणित असेही फिरवू शकतो. एका बुद्धीबळ स्पर्धेत 10 खेळाडू सहभागी झाले होते. प्रत्येक खेळाडू प्रत्येक खेळाडूशी खेळणार. एकूण किती सामने (मॅचेस) होणार? याचे उत्तर वर दिल्याप्रमाणे 45. हेच गणित परम्युटेशन आणि कॉम्बीनेशन संकल्पनेतील कॉम्बीनेशन सूत्र वापरूनही सोडवता येते.
आता आणखी एक गणित बघा. 20 कामगारांना अमूक खोदकाम करायला 30 दिवस लागतात. तर 25 कामगारांना तेच काम करण्याला किती दिवस लागतील? याचे उत्तर 24 दिवस. एका कामगाराला तेच काम करण्यास 20 x 30 =600 दिवस लागतील. 25 कामगारांना 600 भागीले 25 = 24. इनवर्स प्रपोर्शन संकल्पनेच्या आधारे समीकरण मांडूनही ते सहज सोडवता येते.
अशी अनेक कोडी आहेत. गणिताचे जादूई-प्रयोग आहेत. वरकरणी दिसायला सोपे पण आजतागायत सापडलेले सर्वात कठीण असे गणित पुढीलप्रमाणे –
12 नाणी आहेत. त्यातील एकच नाणे इतरांपासून वजनाने दोषपूर्ण आहे. बाकी अकरा नाणी समान वजनाची आहेत. दोषपूर्ण नाणे इतरांपेक्षा हलके आहे की जड ते माहीत नाही. तुमच्याकडे एक बॅलन्स (वजनविरहित तराजू) आहे. त्याचा वापर फक्त तीनदा करून बारा नाण्यातील एकमेव सदोष नाणे हुडकून काढायचे आहे व त्याचा दोषही. म्हणजे ते इतरांपेक्षा हलके की जड ते सांगायचे आहे. उत्तर सोपे नाही. कठीणही नाही. उत्तर लांबलचक आहे. पण जो कोणी हे गणित सोडवतो त्याचा गणितीय आणि तार्किक बुध्यांक फारच उच्च आहे यावर शिक्कामोर्तब अवश्य करावे.
गणित जेव्हा मातृभाषेत शिकवले तेव्हा ते तितके जड जात नाही. गाडी कशी चालवावी ते शिकवताना जर दुसऱ्या भाषेतून ड्रायव्हर बोलायला लागला तर शिकणे किती अवघड होऊन जाईल? गणित विषयात पदवीधर असलेला व अध्यापनाची अंगभूत आवड व कला असलेला शिक्षकच या विषयाला न्याय देऊ शकतो. पण त्यालाही मर्यादा आहेत. प्रत्येक विद्यार्थ्याचा गणितीय बुध्यांक जितका आहे ती शक्ती पूर्ण विकसित करण्यास असा गणित पदवीधर शिक्षक न्याय देऊ शकतो.
बीजगणितातील समीकरणे सोडवताना जिज्ञासू गणित अभ्यासकाला प्रश्न पडू शकतो. 2 घातांकाचे समीकरण सोडवायचे सूत्र आहे. (घातांक म्हणजे संख्येचा स्वत:शीच गुणाकार – दोनाचा वर्ग चार, दोनाचा घन आठ) 3 वा 4 घातांकाचे समीकरण सोडवायला सूत्रे आहेत पण 5 किंवा जास्त घातांकाचे समीकरण सोडवणे शक्य आहे का? सूत्र असेल का? हा प्रश्न पडतो. आबेल-रूफीनी प्रमेय असे सांगते की पाच किंवा त्याहून अधिक घातांकाच्या सामान्य बहुपदीय समीकरणांचे धातूरूपात (Radical form) कोणतेही उत्तर मिळू शकत नाही. प्रमेयाचे नाव पाओलो रुफिनी यांच्या नावावर आहे, ज्यांनी 1799 मध्ये एक अपूर्ण पुरावा तयार केला. जो 1813 मध्ये पूर्ण झाला आणि कॉचीने स्वीकारला. नील्स हेन्रिक आबेल या गणिततज्ञाने हे प्रमेय 1824 मध्ये सिध्द केले.
अशी अनेक प्रमेय, सिध्दांत गणितात आहेत. अनेक गणिततज्ज्ञ आहेत. त्यांचे योगदान व संशोधन महान आहे. त्यांनी वेगवेगळे शोध लावले आहेत. पाल्हाळ होईल म्हणून त्या खोलात जात नाही. गणिताचा हा महासागर अथांग आहे. श्रीनिवास रामानुजन यांचे कार्य सर्वश्रुत आहे. लेखक बर्ट्रांड रसेल हे गणिततज्ज्ञ होते. अर्थशास्त्रज्ञ कीन्स गणिततज्ज्ञ होते. ते गणितात पदवीधर होते व प्रॉबॅबिलीटी या विषयात त्यांचे संशोधन आहे. लोकमान्य टिळक, गोपाळकृष्ण गोखले यांचेही गणितावर प्रभुत्व होते. गोमंतकीय गणिततज्ञ बाबला सिंगबाळ, दामोदर धर्मानंद कोसंबी यांनीही गणिताच्या क्षेत्रात भरीव कामगिरी केली आहे. नाटककार बादल सरकार व्यवसायाने सिविल इंजिनीयर होते. गिरीश कर्नाड हे धारवाड कॉलेजचे गणित, संख्याशास्त्र विषयाचे पदवीधर होते. सरकार व कर्नाड यांच्या नाट्य संहितांच्या बांधणीत गणितीय सूत्रबध्दतेचा प्रत्यय येतो.
गणितातील अद्ययावत संशोधन इटालियन, फ्रेंच, जर्मन व इंग्‍लिश या भाषांतील नियतकालिकांतून प्रसिद्ध होत असते. रशियन भाषेतही काही नियतकालिके प्रसिद्ध होतात. अमेरिकन मॅथेमॅटिकल सोसायटीने रशियन भाषेतील महत्त्वाच्या निबंधांचे इंग्रजीत सातत्याने भाषांतर करण्याचे कार्य चालू केले आहे. ज्या नियतकालिकांत मूळच्या संशोधनावर आधारलेले निबंध प्रसिद्ध होतात त्यांना आद्य स्वरूपाचे प्रकाशन म्हणतात.
जगात जवळजवळ बाराशे गणितीय नियतकालिके प्रसिद्ध होत असून त्यांतील महत्त्वाच्या माहितीचा सारांश व परीक्षणे देणारी नियतकालिकेही उपलब्ध आहेत. अमेरिकन मॅथेमॅटिकल सोसायटीने ‘मॅथेमॅटिकल रिव्ह्यूज’ हे नियतकालिक 1940 साली सुरू केले. हे नियतकालिक अमेरिकन मॅथेमॅटिकल सोसायटी, मॅथेमॅटिकल ॲसोसिएशन ऑफ अमेरिका, इंडियन मॅथेमॅटिकल सोसायटी, लंडन मॅथेमॅटिकल सोसायटी अशा तेरा राष्ट्रीय दर्जाच्या गणितीय संस्थांनी पुरस्कृत केलेले आहे. या नियतकालिकाकरता विविध शाखांतील अनेक गणितज्ज्ञ काम करत असून त्यात सुमारे बाराशे नियतकालिकांतील लेखांचे परीक्षण तसेच लेखक व विषयांची सूची दर वर्षी प्रसिद्ध होते.
इंटरनेटवर गणिताविषयी भरपूर माहिती उपलब्ध आहे. युट्यूबवर गणिताचे पाठ वा कोडी शिकवणारी सामग्री आहे. त्याचा विद्यार्थ्यांनी लाभ घ्यायला हवा. अनंतता म्हणजे काय ही संकल्पना शालेय वयातच गणिताची आवड असलेल्यांनी समजून घ्यायला हवी.
शालेय वयाच्या मुलांनी गणिताचे कूटप्रश्न व कोडी सोडवली पाहिजे. शकुंतला देवी यांनी गणिताच्या कोड्यांसंदर्भात चार पुस्तके लिहिली आहेत. अशी पुस्तके मुलांच्या हातात जायला हवीत. मुलांना वाढदिवसाला भेट दिली पाहिजेत. भौतिकशास्त्राचा व अभियांत्रिकीचा तसेच अनेक विज्ञान शाखांचा पाया गणितावर रचलेला आहे. पणजी मिरामारच्या धेंपे महाविद्यालयातील भौतिकशास्त्राचे एक प्राध्यापक सहकारी नेहमी म्हणायचे, ‘भले तुम्ही गणिताचा त्याग कराल हो ! पण गणित तुमचा पिच्छा कधीही सोडणार नाही.’ हे त्रिवार सत्य!
– मुकेश थळी 9545827662 anushanti561963@gmail.com
About Post Author
Thanks for writing on Mathematics. Hearty congratulations and best wishes for your next endeavor. Could you please share the list of Marathi books for reference. I wish to gift a few to the near one’s birthdays.
आपले लेख आवडतात.
मी निवृत्त गणित प्राध्यापक, संगीतात आवड असलेला आहे. बासरीवादन, गाणे आवडते. maths, marathi musi, Sanskrit या आवडी आहेत. गणिता न भीत तुज मी,असे लिहावेसे वाटते. नागमणीसारखी उपमा गणिताला देता येईल. सर्व विषयातील वाटा ह्या नांगरणीमुळे स्पष्ट दिसतात.
धन्यवाद.
आपला लेख आवडला. शालेय स्तरावरील विद्यार्थ्यांना उपयुक्त अशी मराठी भाषेतील गणिताची पुस्तके सांगा.
ग्रंथालयात गणितविषयक अनेक ग्रंथांचे त्यातील नेमका आशय शोधून वर्गीकरण करताना मात्र गणिताच्या अनेक शाखा, उपशाखा, संशोधन , उपविषय आणि इतर ज्ञानविषयांशी परस्पर संबंध समजून घेतले. तो कामाचा भाग होता. आता गरजेपुरते गणित सोबत करते. हा लेख अतिशय महत्त्वाचा आहे. गणिताची गोडी लागणे खरोखरच आनंदाचे असणार !
गणिताचा एवढा सखोल अभ्यास आणि त्याचे रोजच्या जीवनातील महत्व. हे इतके मोजक्याच शब्दात उत्तम रीतीने मांडले आहे त्याबद्दल खरोखर मनापासून अभिनंदन.
फारच छान. आयुष्यभर क्लिष्ट वाटणारे गणित अगदी साध्या, सोप्या, सरळ पद्धतीने समजावले. धन्यवाद.
नावडीचा विषय आता बनेल आवडीचा, नक्कीच…
१) १२ नाण्यांपैकी तराजूच्या एका पारड्यात ६ नाणे व दुसऱ्या पारड्यात ६ नाणे घेणे. ज्या पारड्याचे वजन कमी भरेल किंवा जास्त भरेल त्या पारड्यात दोषपूर्ण नाणा आहेत.
२) ज्या पारड्याचे वजन कमी किंवा जास्त भरले त्या ६ नाणे परत पुन्हा दोन पारड्यात विभागणी करणे. म्हणजे एका पारड्यात ३ नाणे व दुसऱ्या पारड्यात ३ नाणे येतील. आता ज्या पारड्याचे वजन कमी किंवा जास्त भरले त्या पारड्यात दोषपूर्ण नाणा आहे.
३) आता फक्त त्या ३ नाण्यांपैकी एक नाणा दोषपूर्ण आहे. आता या तीन पैकी एक नाणा एका पारड्यात व दुसरा नाणा दुसऱ्या पारड्यात व तिसरा नाणा रिकामा ठेवायचा. जर दोन्ही पारडे सारख्या वजनाचे आले तर पारड्यात न टाकलेला रिकामा नाणा दोषपूर्ण आहे. जर एखाद्या पारड्याचे वजन कमी किंवा जास्त भरले तर ज्या पारड्याचे वजन कमी किंवा जास्त भरले. त्या पारड्यातील नाणे दोषपूर्ण आहे.
अशाप्रकारे उत्तर काढता येईल.
सुरेश गुट्टेवार
लोक बिरादरी आश्रम शाळा हेमलकसा
ता. भामरागड जि. गडचिरोली
महाराष्ट्र
गणितातील कूटप्रश्न व कोडी सोडवायला मला खूप आवडते.
उत्तर चुकलेलं आहे.
सुरवातीलाच दोन्ही पारडं वर खाली होतीलच. कारण एक नाणं दोषपूर्ण आहे.
ते हलकं की जड ते माहीत नाही. ते शोधून काढून त्याचा दोषही सांगायचा आहे.
वर खाली होणं म्हणजे सदोष नाणं वरच्या सहा किंवां खालच्या सहा नाण्यांत असू शकतंं.
फारच सुरेख लेख! गणिताविषयीची भीती कुठल्याकुठे नाहीशी करणारा, तसेच, गणिताबद्दलची रुची, औत्सुक्य वाढवणारा लेख.
—- अदिती बर्वे.
Thanks for the information. I had been conducting 4 days Maths through Origami work shops all over India. The purpose was to make maths sensuous and tactile, functional and activity based. I had conducted 1 or 2 such work shops in Goa in 1993. I used to abhor maths in school and College and ironically conducted work shops for teachers from Bastar Adivasis to IITs.
I will be glad to communicate with you after 24 elections. All good wishes and regards.
Ravindra Keskar
Ravindra Keskar. A puzzle construed by me. With four date seeds ( चार खजुराच्या बिया) create a largest number, starting from zero in continuation. Use any consistent logic.
मुकेश थळी बेरजा फार करतात. त्यांची एक मोठी बेरीज आहे कोंकणी अधिक मराठी. याचे उत्तर आहे भाषिक समृद्धी. सरळ सोप्या भाषेत इथे त्यांनी गणिताचे प्राथमिक धडे गिरवले आहेत. त्यांना माणसे आवडतात म्हणून ते ललित निबंध लिहितात. जीवनात संघर्ष आवडत नाही पण मायभाषेसाठी संघर्षात स्वत:ला झोकून देतात. कृत्रिमतेचा लवलेश त्यांच्यात आढळत नाही पण ते नाटके लिहितात, नाटकात रमतात. आवाजाच्या दुनियेत कोंकणीतल्यान खबरोच्या दहा मिनिटे कानावर येणारा हा चिरस्मरणीय गोमंतकीय आवाज आहे. जवळून पाहणाऱ्यांना ते एक कोडं आहे. कवितेत रुचकर खाण्यात आणि संस्कृतीच्या सर्वच अंगात फिरतानाही ते कोडी घेऊन येतात. मग ती शब्द कोडी असोत की गणितातली कोडी. ही गणिताची सुबोध ओळख त्यांच्या लिखाणातून वृद्धिंगत होत उच्चस्तरीय गणिती संकल्पना समजून सांगण्यापर्यंत पोचली पाहिजे अशी अपेक्षा.
खूपच आवडला लेख. शालेय जीवनातील गणिताची आवड अनेकदा तिथेच विसर्जित होते आणि आयुष्यात विशुद्ध गणितापेक्षा अंकगणिताशी जास्त संबंध येतो.तुमच्या लेखामुळे हा Road not taken आठवला.