गणितातील गोडवा (Melody in Mathematics)

गोव्याचे गणित शिक्षक, कवी, नाटककार मुकेश थळी यांचा ‘सौंदर्यशास्त्र गणिताचे’ हा लेख आपण यापूर्वी वाचला आहे. आज मुकेश थळी सांगत आहेत गणितात दडलेल्या सुरेल गोडव्याविषयी. गणिताविषयीचे गैरसमज दूर व्हावेत, गणितातल्या काही संकल्पनांचा परिचय व्हावा, या संकल्पना कुठे, कशा उपयोगात आणल्या जातात हे सांगावे हा या लेखांचा उद्देश आहे. एका सजग शिक्षकाने गणित शिकवताना केलेल्या गमतीही समजतील. शाळा-कॉलेजच्या दिवसांनतर गणिताचा हात सुटतो. त्याची या लेखांच्या निमित्ताने आठवण व्हावी इतकेच!

‘मोगरा फुलला’ या दालनातील इतर लेख वाचण्यासाठी येथे क्लिक करा.

-सुनंदा भोसेकर

गणितातील गोडवा

एक होता बिंदू
त्याला आली लहर
सरळ चालायला लागला
झाली रेषा

मी गणित शिकवताना अशा पध्दती वापरल्या. बिंदू मॉर्निंग वॉकला गेला आणि रेषा झाली. होता ‘तो’, झाली ‘ती’. अशा गमतीजमती करून शिकवल्याने मुलांना गणितात रस निर्माण होई. मुळातच गणित हा विषय म्हणजे कंटाळा हा डोक्यात पेरलेला पूर्वग्रहाचा किडा काढायला अशा अध्यापन पध्दतींची गरज असते. मुलांना बिंदूपासून रेषा निर्माण झालेली कल्पना आवडायची. त्यांना ते दृश्यचित्र दिसत असावे. ती हसायची. त्याच्यावर कविता केली की त्यांचे डोळे चमकायचे. 

एक होता बिंदू
त्याने आखली रेषा
भोवती बनवले वर्तुळ
वर्तुळाने केला भोज्ज्या
रेषा म्हणाली
मी तर तुझी त्रिज्या ! 

कविता म्हणताना हे मी फळ्यावर काढून दाखवत असे. डोळ्यांनी पाहिलेले असल्यामुळे साहजिकच मुलांच्या लक्षात रहात असे. नंतर हळूच मी गणित शिक्षकाच्या नात्याने कठीण संकल्पनेच्या अध्यापनाला हात घालत असे. 

गणितात प्राइम नंबर (मूळ संख्या) नावाची संकल्पना आहे. प्राइम नंबरला अंकगणितात विशेष महत्त्व आहे. एक (1) पेक्षा मोठा असलेला नॅचरल नंबर, जो दोन लहान नॅचरल नंबरांचा गुणाकार नसेल त्याला प्राइम नंबर वा प्राइम म्हणतात. 1 पेक्षा मोठा जो नॅचरल नंबर आहे आणि जो प्राइम नाही त्याला कंपोझिट नंबर (संमिश्र संख्या) म्हणतात. 5 हा प्राइम आहे. 4 हा कंपोझिट आहे. प्राइम अनंत आहेत हे युक्लीडने ख्रिस्तपूर्व 300 च्या सुमारास दाखवून दिले. प्राइम आणि कंपोझिट या नंबरना वेगळावणारे विशेष सूत्र नाही.  

कार्ल फ्रेडरीक गॉस हे एक महान  गणिततज्ञ. त्यांचे एक वाक्य आहे. गणित ही सर्व विज्ञानांची राणी होय. आणि नंबर थियरी ही सर्व गणित विषयांची राणी होय. प्राइम नंबरांचे गुणधर्म नंबर थियरीमध्ये फार महत्वाची भूमिका बजावतात.   

कलनशास्त्रातील (कॅल्क्युलस)  मर्यादा (लिमिट) ही संकल्पना शिकवताना आम्हाला एक उदाहरण दिले जायचे. एका वर्तुळामध्ये एक नियमित बहुभुजाकृती पॉलिगॉन (Polygon) बसवला, ज्याचे शिरोबिंदू वर्तुळावर स्थित आहेत. तो सहा बाजूंचा आहे. नंतर तो दहा बाजूंचा केला. नंतर शंभर. नंतर हजारो बाजूंचा. तो पॉलिगॉन त्या वर्तुळाच्या परिघाला अगदी जवळ जवळ जाईल पण परीघ नाही बनणार. मर्यादा म्हणजे लिमिट ही संकल्पना अशीच आहे. अगदी जवळ जाणे. 

गणिताशिवाय अंतरिक्ष विज्ञानाचे पान हलू शकत नाही. उपग्रह तंत्रज्ञानात ठरावीक गणितीय सूत्रे असतात. त्यानुसार सगळे ठीक चालते. कृत्रिम उपग्रह पृथ्वीभोवती चकरा मारतो, त्याच्यामागे तो कक्षेत सोडताना एक ठोस गणितीय सूत्र आहे. अचूकपणे अमूक एक गती (velocity) दिली, की तो पृथ्वीभोवती प्रदक्षिणा घालू लागतो. याला क्रिटिकल व्हेलोसिटी (critical velocity) म्हणतात. गती किंचितही कमी झाली की तो परत खाली येऊन कोसळतो. ती गती  कणभरसुध्दा जास्त झाली की तो अंतरिक्षात जाऊन नाहीसा होतो. अनंत अंतरिक्षात कुठे जाणे, काय होणे, हरवणे हे कल्पनेच्या बाहेर असते. क्रिटिकल व्हेलोसिटीपेक्षा किंचित जास्त गती म्हणजे इस्केप व्हेलोसिटी (escape velocity) प्राप्त होऊन तो उपग्रह हरवतो.

भौतिकशास्त्रात लंबकाचा पिरयड (period of a pendulum) व लांबी यांचे नाते सांगणारे सूत्र आहे.  T=2π √(L/g)

T म्हणजे लंबकाचा पिरयड. L म्हणजे त्याची लांबी. g म्हणजे गुरूत्वाकर्षण शक्ती. 

उतरण-चढण असलेल्या वळणावर रस्ता-अभियांत्रिकीद्वारे मार्गाची रचना योग्य कोनातून व उंचीने करावी लागते. त्यालाही व्यवस्थित गणितीय सूत्र आहे. कारण अशा धारदार वळणावर जोरात स्टिअरिंग फिरवताना गाडी कलण्याची, पडण्याची शक्यता असते. अवजड वाहनांना, ट्रक्संना व बसेसना वळणावर काळजी घ्यावी लागते. मुळात शास्त्रानुसार वळणावरच्या रस्त्याची बांधणी करावी लागते. याला angle of banking असे म्हणतात. त्याचे सूत्र आहे.

Tanθ = V²/gR

V म्हणजे गती, g म्हणजे गुरूत्वाकर्षण शक्ती आणि R म्हणजे त्रिज्या.

गणिताचा उपयोग कोठे आणि कसा केला जातो याचा या उदाहरणांवरून अंदाज येईल.

गमतीशीर व उत्कंठावर्धक कोडी देऊन गणिताविषयी आवड उत्पन्न करणे शक्य असते. हे कोडे पहा. एकदा एक साधू राजाच्या दरबारात येतो. तो राजाला आशीर्वाद देतो, जायची तयारी करतो, इतक्यात राजा म्हणतो, ‘तुम्ही काही तरी मागा. तुम्ही मागाल ते आम्ही देऊ…’

‘हो, बरंय…’ साधू म्हणतो आणि सांगतो, ‘राजन, बुध्दीबळाचा एक पट आणा.’ तो आणला जातो. पटावर एकूण चौसष्ट घरे असतात.

साधू म्हणतो, ‘पहिल्या चौकोनात धान्याचा एक कण ठेवा. दुसऱ्या काळ्या घरात दोन दाणे ठेवा. तिसऱ्या घरात चार, नंतर आठ, नंतर सोळा, बत्तीस … असे दाणे वाढत जातात. आधी होते त्याच्या दुप्पट पुढच्या चौकोनात. दाण्यांचा आकडा फुगत जातो. राज्याचे संपूर्ण कोठार रिकामे होते. पटावरची घरे अजूनही शिल्लक असतात. पटींनी वाढत जाणाऱ्या या क्रमाला Geometric Progression असे बीजगणितात म्हणतात. हा विषय शिकवायच्या आधी अध्यापकांनी, प्राध्यापकांनी अशी कोडी, किस्से सांगून सुरवात केली तर मुले विषयाकडे आकृष्ट होतील, सांगितलेली माहिती त्यांच्या लक्षातही राहील. 

Arithmetic progression ही संकल्पना Geometric Progression सारखीच असेल असे वाटू शकते, पण प्रत्यक्षात Arithmetic progression मध्ये जो सिक्वेन्स (क्रम) असतो. त्यात अगोदरच्या आकड्यामध्ये एकच आकडा मिळवून (बेरीज करून) पुढचा नंबर येतो. उदाहरणार्थ; 6, 10, 14, 18… या सिक्वेन्समध्ये आधीच्या आकड्यात चार ह्या आकड्याची बेरीज करून पुढचा आकडा रचलेला दिसतो. 

असे सांगितले जाते की एकदा एक शिक्षक वर्गात आले आणि त्यांनी मुलांना गणित सोडवायला दिले. 1+2+3+4+5 … 100 म्हणजेच 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्यांची बेरीज केली तर किती होईल? Arithmetic series चे सूत्र वापरून ते झटक्यात सांगता येते. पण हा वर्ग हायस्कूलचा होता.  बाकी मुले बेरीज करत होती. एका मुलाने दोन सेकंदांत उत्तर दिले, ‘5050’. शिक्षक म्हणाले, ‘हे बरोबर आहे , पण हे तू कसे सोडवलेस?’ त्या चटपटीत, हुषार मुलाने सांगितले, ‘अगदी सोप्पय. मी फक्त जोड्या बनवल्या. 

1+ 100= 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101 

101 च्या एकूण 50 जोड्या होतील.

म्हणजेच 101 गुणीले 50 = 5050 हे उत्तर.’

गणिताची अनेक कोडी विविध पुस्तकांमध्ये सापडतात. ती सोडवून आपला मेंदू तरतरीत आणि चपळ होतो. इंटरनेटवर आणि युट्यूबवरही गणितातली कोडी, कठीण गणित प्रश्न आहेत. रंजकता व एक विलक्षण नशा अनुभवायची असेल तर कायम या धुंदीच्या डोहात डुंबून राहणे सोयीस्कर आहे. ‘युपीएससी’च्या सिविल सेवा परीक्षेचे म्हणजे ‘आयएएस’ व तत्सम सेवांचे गणिताचे पेपर (प्रिलिम व मुख्य) सोडवल्यास गणित विषयाचे काठिण्य कळून चुकेल. काठिण्याच्या शक्यता पाहून अवाक व्हायला होईल. तसेच आयआयटीचे  गणिताचे पेपर सोडवले तर पराकोटीचे गणितीय कूटप्रश्न कमीत कमी वेळात सोडवण्याच्या हातोटीला जरूर वेग येतो.  

गणितातल्या कोड्यांची वा गणिताची आवड निर्माण करणारी अनेक पुस्तके मराठीतही आहेत. ती इंटरनेटवर विक्रीसाठी उपलब्ध असल्यास आपण मागवू शकतो. इंग्रजीत तर खूपच पुस्तके आहेत. अर्नेस्ट ड्युडीन यांचे Amusements in Mathematics हे पुस्तक खपाच्या बाबतीत अनेक वर्षे विक्रम करून आहे. गणिताच्या विविध शाखा व विषयवार पुस्तके उपलब्ध आहेत. 

आणि सरते शेवटी – 

गणितात सोपेपणा आणण्याचा जागर, जागृती कायम होत राहावी. डिफरीन्शियल समीकरणे, डिटरमिनण्टस, न्युमरिकल अ‍ॅनलीसिस वगैरे उच्च गणितीय क्षेत्राची ओळख व जाण नसली तरी चालेल. पण भूमितीतील ellipse, parabola, hyperbola या आकृत्यांची, तसेच संख्याशास्त्रातही असणारी probability संकल्पना यांची समजदार तोंडओळख असली तर त्याचा नक्की व कायम फायदाच होईल. त्याविषयी पुढल्या लेखात जाणून घेऊ. 

जी एच हार्डी या महान गणितज्ञाचे वाक्य आहे. A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. गणिततज्ञ हा चित्रकार व कवी यांसारखा पॅटर्नची निर्मिती करणारा कलाकार असतो. ती सौंदर्यदृष्टी प्राप्त झाली तर अमूर्त अशा आनंदाचा रंगीत पाऊस साहित्य, नाटक, विविध कलांगणे यांच्या क्षेत्रात व जाऊ तिथे, पावलोपावली रिमझिम पडताना आपण अनुभवू शकतो.   

मुकेश थळी  9545827662 Anushanti561963@gmail.com